Показатель числа по модулю и индексы по простому модулю

§ 5. Показатель числа по заданному модулю и индексы по простому
модулю.
1. Показатель числа по модулю, свойства.
Рассмотрим вопрос о распределении в классах по модулю m
последовательности
(1)
a, a 2 , a3 , a 4 ,...,
где a - некоторое число, взаимно простое с модулем. По теореме Эйлера
имеем a ( m)  1(mod m) , и поэтому a ( m)k  1(mod m) , при любом целом
положительном k . Следовательно, среди степеней (1) числа a найдется
бесконечное количество чисел, сравнимых с 1 по модулю m .
Определение 1. Наименьшее натуральное число  , для которого
справедливо сравнение
(2)
a  1(mod m)
называется показателем числа a по модулю m или показателем, которому
принадлежит число a по модулю m и обозначается символом   Pm (a) .
Очевидно,
что Pm (a)   (m) .
Требование
является
(a, m)  1
существенным.
Определение 2. Если Pm (a)   (m) , то a называют первообразным
корнем (примитивным) по модулю m .
1°. Если a1  a2 (mod m) , то числа a1` и a 2 принадлежат по этому
модулю одному и тому же показателю, то есть Pm (a1 )  Pm (a2 ) .
Доказательство. Пусть 1  Pm (a1 ) ,  2  Pm (a2 ) . Так как a1  a2 (mod m) , то


a1 1  1(mod m)
a2 1  1(mod m)  2  1


 1   2 .


a2 2  1(mod m)
a1 2  1(mod m) 1   2
Следствие 1. Все числа одного и того же класса имеют один и тот же
показатель.
2°. Если   Pm (a) , то a k  a n (mod m)  k  n(mod ) .
Доказательство. Необходимость. Пусть a k  a n (modm) . По теореме о
делении с остатком имеем k  q  r, n  g  s , причем 0  r   ,0  s   .
Поскольку a  1(mod m) , то aq  r  a r (mod m), ag  s  a s (mod m) . Следовательно,
a r  a s (mod m)  r  s . А это означает, что k  n(mod ) .
Достаточность. Пусть
k  n(mod ) . Тогда k  n  t . Поскольку

n  t
n
a  1(mod m) , то a
 a (modm) , то есть a k  a n (modm) .
Следствие 2. Если   Pm (a) и a k  1(mod m) , то k  .
Следствие 3. Показатель  , которому принадлежит число a по
модулю m , является делителем числа  (m) , то есть  (m) Pm (a) .
3°. Если ( Pm (a1 ), Pm (a2 ))  1 , то Pm (a1  a2 )  Pm (a1 )  Pm (a2 ) .
Следствие 4. Показатель, которому принадлежит по модулю m
произведение чисел a1, a2 ,..., an , равен произведению показателей, которым
принадлежат по модулю числа a1, a2 ,..., an , если показатели попарно взаимно
простые.
80
4°. Если Pm (a)  1   2 , то Pm a    2 .
2. Первообразные корни.
Теорема 1. Если q - первообразный корень, то система
0
1
q , q , q 2 ,..., q ( m) 1 - ПрСВ.
Действительно, в данной системе имеется  (m) - вычетов, они не
сравнимы и взаимно просты с модулем m .
Теорема 2. По любому простому модулю p существует хотя бы
один первообразный корень.
Доказательство. Действительно, пусть
(3)
1,  2 ,...,  r
- все различные показатели, которым по модулю p принадлежат числа
(4)
1,2,3,...,( p  1) .
Пусть  - наименьшее общее кратное этих показателей и   q1  q2  ...  qk его каноническое разложение. Каждый множитель qs этого разложения
делит по меньшей мере одно число  j ряда (3), которое, следовательно,
может быть представлено в виде:  j  aqs . Пусть  j - одно из чисел ряда
(4), принадлежащих показателю  j . Согласно свойству 4° число  j   ja
принадлежит показателю qs , согласно свойству 3° произведение
принадлежит показателю   q1  q2  ...  qk . Поэтому,
g  1 2  ... k
согласно следствия 2 свойства 2° показателей,  - делитель ( p  1) . Но
поскольку числа (3) делят  , все числа (4) являются решениями сравнения
x  1(mod p) ; поэтому будем иметь p 1   . Следовательно,   ç  1 и g первообразный корень.
Теорема 3. Если существует хотя бы одно число, принадлежащее по
модулю p показателю  , то всего классов таких чисел будет  ( ) .
Следствие 5. Первообразных корней по простому модулю
p существует  ( p  1) .
5. Если a - первообразный корень по модулю p , то другие
первообразные корни следует искать среди степеней a 2 , a3 ,..., a p 1 - они
имеют вид ak , где (k , p  1)  1 и k  p  1 .
Какого-либо специального способа нахождения первообразных
корней не существует. Их находят методом проб. Чтоб несколько
облегчить процесс вычислений, можно использовать следующую теорему.
Теорема 4. Если p  1  q1k  q2k  ...  qsk - каноническое разложение числа
p  1 , то для того чтобы число a , взаимно простое с числом p , было
первообразным корнем по модулю p , необходимо и достаточно, чтобы
1
1
2
k
s
s
s
1
1
2
k
s
2
p 1
выполнялись условия: a q  1(mod p), (a, p)  1 для i  1,2,...,s .
Теорема 5. Число m обладает первообразными (примитивными)
корнями тогда и только тогда, когда оно имеет вид 2,4, p ,2 p , где p нечетное простое число.
i
81
Важный результат о существовании примитивных корней по модулю
простого числа был анонсирован Эйлером и был доказан впервые Гауссом.
Относительно примитивных корней существует много интересных гипотез.
Знаменитая гипотеза Артина состоит в том, что если задано некоторое
число a , не являющееся квадратом и не равное (-1), то существует
бесконечно много простых чисел, по модулю которых a - примитивный
корень. В последнее время было доказано, что первоначальная гипотеза
Артина выполняется в предположении, что в полях алгебраических чисел
справедлива расширенная гипотеза Римана.
3. Индексы по модулю, свойства.
ПрСВ по простому модулю p можно представить в виде множества
наименьших неотрицательных вычетов
(5)
1,2,3,..., p  1 .
Однако, на основании теоремы 1, ПрСВ может быть представлена и с
помощью степеней некоторого первообразного корня q по модулю p :
q, q 2 , q3 ,..., q p 1 . Таким образом, каждый класс вычетов a ПрСВ по модулю
p можно представить некоторым числом вида q , принадлежащим к этому
числу, и, значит каждому классу вычетов a , где a  ПрСВ, можно
поставить в соответствие показатель степени  числа q , который будем
называть индексом класса a при основании q (дискретным логарифмом).
Определение 3. Индексом числа a по модулю m (класса a ) при
основании q ( q - первообразный корень по данному модулю) называется
такое целое неотрицательное число    (m) , что q  a(modm) .
Обозначают индекс символом:   indq a по модулю m . Понятие
индекса в теории сравнений аналогично понятию логарифма числа,
поэтому операции над числами в сравнениях можно заменить
определенными операциями над их индексами. На практике пользуются
таблицами индексов.
Свойства индексов.
1°. a  b(mod m)  indq a  indqb(mod (m)) .
Доказательство. Используя свойства сравнений и показателей по
заданному модулю, получаем
a  q q (mod m)
ind a
ind b
 q q  q q (mod m)  indq a  indqb(mod (m)) .
ind q b
bq
(mod m)
2°. Индекс произведения чисел a и b по заданному модулю m при
основании q сравним по модулю  (m) с суммой индексов этих чисел при
основании q , то есть indq (a  b)  indq a  indqb(mod (m)) .
ind a
a  b(mod m) 
a
 inda  indb(mod (m)) .
b
4°. indq a n  n  indq a(mod (m)) .
3°. Если ab , то indq
В частности, indq1  o(mod (m)) и indq q  1(mod (m)) .
82
Заметим, что переход от сравнения между числами к сравнению
между их индексами называется индексацией, а обратный переход –
потенцированием.
4. Решение двучленных сравнений n -ой степени с помощью
индексов.
В общем случае двучленное сравнение можно записать так:
(6)
axn  b(mod p)
где (a, p)  1 и n - натуральное число. Если провести индексацию этого
сравнения при некотором основании, с использованием свойств индексов,
то получим сравнение
(7)
inda  n  indx  indb(mod p  1) .
Обозначая indb  inda  c, indx  y , имеем следующее сравнение
ny  c(mod p  1) .
Таким образом, от сравнения n -ой степени (6) с помощью индексов мы
пришли к сравнению первой степени (7). Решив его, найдем значение
y  indx , затем найдем по соответствующим таблицам значение x .
Пример 1. Какому показателю принадлежит число 3 по модулю 20?
Решение. Поскольку (3,20)  1, то существует P20 (3) , т.е. наименьшее из
положительных показателей k , для которых 3k  1(mod 20) . Т.к.  (20)  8 и
81;2;4;8 , то достаточно найти остатки от деления 32 и 34 на 20. 32 не
сравнимо с 1 по модулю 20, 34  1(mod 20) .
Ответ: P20 (3)  4 .
Пример 2. Найти наименьший первообразный корень и число первообразных корней по модулю 31.
Решение. I способ. По определению, число q , взаимно простое с m ,
является первообразным корнем по модулю m , если Pm (q)   (m) .
Показатели чисел по модулю 31 нужно искать среди натуральных
делителей  (31)  30 (301,2,3,5,6,10,15,30) . Испытаем число 2. 22  4 , 23  8 ,
2 5  32  1(mod 31) , т.е. P31  5   (31) и, значит, 2 не первообразный корень по
модулю 31.
Испытаем число 3. 32  9 , 33  27  4(mod 31) , 35  9  (4)  5 , 36   42  16 ,
5
2
и,
следовательно,
так
как
315   4  1(mod 31)
310   5  25 ,
P31 (3)  30   31 число 3 является наименьшим первообразным корнем по
модулю 31.
II способ. Опирается на теорему: если p1, p2 ..., pk различные простые
делители  m , то для того, чтобы q было первообразным по модулю m ,
необходимо и достаточно, чтобы q не удовлетворяло ни одному из
 m 
 m 
 1(mod m) ,…, q pk  1(mod m) . В нашем случае нужно
сравнений q
проверить, удовлетворяет или нет число q сравнениям q15  1(mod 31) ,
q10  1(mod 31) , q 6  1(mod 31) . q  3 не одному из этих сравнений не
p1
83
удовлетворяет и значит является первообразным. Число всех
первообразных по простому модулю 31 вычисляется
по формуле
  31   30   8 .
Пример 3. Составить таблицу индексов и таблицу для нахождения
числа по данному индексу по модулю 7.
Решение. В качестве основания индексов возьмем первообразный корень 3.
Выпишем последовательно наименьшие неотрицательные вычеты всех
степеней числа 3 от 31 до 36 . 31  3 , 32  2 , 33  6 , 34  4 , 35  5 , 36  1(mod 7) .
Первые части этих сравнений есть числа (N ) ПрСВ по модулю 7, а
индексы (J ) - показатели степени первообразного корня 3. Класс нуля
индекса не имеет.
Таблица 1.
Таблица 2.
N 0 1 2 3 4 5 6
N 1 2 3 4 5 6
J
6 2 1 4 5 3
J 3 2 6 4 5 1
Пример 4. При помощи индексов решить сравнение 2  x  5(mod7) .
Решение. Проводя индексацию при основании q  3 , получим
ind3 2  3  ind3 x  ind3 5(mod 6) . По таблице индексов находим ind3 2  2 , ind3 5  5 ,
2  3  ind3 x  5(mod 6) , 3  ind3 x  3(mod 6) . Так как 3,6  3 , 33 - 3 решения.
По второй таблице находим:
ind3 x  1(mod 2) .
ind3 x  1;3;5(mod 6) .
x  3;5;4(mod7) .
Упражнения.
№1.Дайте определение показателя числа и класса вычетов по данному
модулю, перечислите его свойства.
№2. Дайте определение первообразного корня по данному модулю.
№3. Сколько существует различных показателей, которым могут принадлежать числа по модулю m ?
№4. Сколько существует первообразных корней по простому модулю m ?
№5. Для какого вида чисел существуют первообразные корни по составному модулю?
№6. Дайте определение индекса числа по простому модулю.
№7. Перечислите основные свойства индексов.
№8. Какому показателю принадлежат числа  по модулю m :
№
A
M
1
2
5
2
3
7
3
5
8
4
7
10
5
5
11
6
6
13
7
7
15
8
3
17
9
5
12
10
3
10
11
4
12
12
3
9
13
6
15
№9. Найти все показатели, которым принадлежат числа по простому
модулю m : 1) 7; 2) 8; 3) 9; 4) 10; 5) 11; 6) 12.
№10. Найти все первообразные корни по модулю:
1) p  7 ; 2) p  11 ; 3) p  13 ; 4) p  17 ; 5) m  10 .
№11. Найти число первообразных корней и наименьший из них по моду84
лям: 1) m  19 ; 2) m  23 ; 3) m  31 ; 4) m  43 ; 5) m  37 ; 6) m  53 .
№12. Решить двучленные уравнения с помощью индексов:
1) 3  x3  4(mod 7) ;
2) 25  x7  7(mod 31) ;
3) 8  x9  17(mod 41) ;
4) 7  x 4  10(mod17) ;
5) x15  38(mod 29) ;
6) 40  x10  3(mod17) ;
7) 3  x8  5(mod13) ;
8) 6  x7  19  0(mod 23) .
№13. Решить с помощью индексов степенные сравнения.
1) 32 x  15(mod 37) ;
4) 197x  15(mod 59) ;
2) 255x  47(mod 31) ;
5) 127x  15(mod 31) ;
3) 23x  17(mod 47) ;
6) 13x  25(mod 23) .
№14. Найти показатели  в сравнениях:
1) 5  1(mod 7) ; 2) 6  1(mod 7) ;
3) 8  1(mod13) ; 4) 18  1(mod11) .
№15. Составить таблицу индексов и таблицу для нахождения числа по
заданному модулю:
1) m  11 ; 2) m  13 ; 3) m  19 ; 4) m  29 .
85