Задачи по теории вероятностей и математической статистике

Задача №1.
Для дискретного вектора (X;Y), распределенного по закону:
X  1
X 0
X 1
Y  1
3
14
1
28
3
14
Y 0
1
28
2
7
3
14
Выяснить, зависимы или нет события A  {X  1} и B  {X  Y  0} .
Решение:
Два события А и В называются независимыми, если P( A  B)  P( A)  P(B) . В
противном случае события А и В называются зависимыми.
Найдем вероятность событий: А; В и АВ:
P( A)  P(X  1)  P( X  1; Y  1)  P( X  1; Y  0) 
3 3 3
 
14 14 7
P( B)  P(X  Y  0)  P( X  0; Y  0)  P( X  1; Y  1) 
P(A B)  P(X  1; X  Y  0)  P( X  1; Y  1) 
3
14
Имеем:
P(A B) 
3 3 1 3
    P( A)  P( B) .
14 7 2 14
Следовательно, А и В – независимые события.
Ответ: События А и В независимы.
2 3
7 1
  
7 14 14 2
Задача №2.
Найти распределение случайной величины Z  X  Y и E (Z ) , если известно
распределение случайного дискретного вектора (Х;Y):
X 1
X 2
X 3
Y  1
1
4
1
12
1
8
Y 0
5
24
1
12
1
4
Решение:
Возможные значения случайной величины
Z  X Y
есть: 4;3;2;1. Найдем
соответствующие вероятности:
P( Z  1)  P( X  Y  1)  P(X  1; Y  0) 
5
24
P( Z  2)  P( X  Y  2)  P(X  1; Y  1)  P(X  2; Y  0) 
1 1
4 1
  
4 12 12 3
P( Z  3)  P( X  Y  3)  P(X  2; Y  1)  P(X  3; Y  0) 
1 1 4 1
  
12 4 12 3
P( Z  4)  P( X  Y  4)  P(X  3; Y  1) 
1
8
Таким образом, закон распределения случайной величины Z  X  Y имеет вид:
Z
1
2
3
4
p
5
24
1
3
1
3
1
8
5
1 1 1
 p  24  3  3  8 
i
5883
1
24
Математическое ожидание случайной величины Z равно:
E ( Z )   zi pi  1
Ответ:
5
1
1
1 5  16  24  12 19
 2   3  4  

24
3
3
8
24
8
Z
1
2
3
4
p
5
24
1
3
1
3
1
8
E (Z ) 
19
8
Задача № 3
Найти
E (Y )
и
D( X )
для
случайного
дискретного
вектора
(Х;Y),
распределенного по закону:
X 0
X 1
X 2
Y 0
0,1
0,2
0
Y 1
0,1
0,1
0,5
Решение:
Составим законы распределения для случайных величин Х и Y. Найдем
соответствующие вероятности:
P( X  0)  P( X  0; Y  0)  P( X  0; Y  1)  0.1  0.1  0.2
P( X  1)  P( X  1; Y  0)  P( X  1; Y  1)  0.2  0.1  0.3
P( X  2)  P( X  2; Y  0)  P( X  2;Y  1)  0  0.5  0.5
P(Y  0)  P(Y  0; X  0)  P(Y  0; X  1)  P(Y  0; X  2)  0.1  0.2  0  0.3
P(Y  1)  P(Y  1; X  0)  P(Y  1; X  1)  P(Y  1; X  2)  0.1  0.1  0.5  0.7
Законы распределения для случайных величин Х и Y имеют вид:
х
0
1
2
y
0
1
р
0,2 0,3
0,5
p
0.3
0.7
Найдем математическое ожидание:
E (X)   xi pi  0  0.2  1 0.3  2  0.5  1.3
E (Y )   yi pi  0  0.3  1 0.7  0.7
Найдем дисперсию:
D(X)   xi pi   E ( X )   02  0.2  12  0.3  22  0.5  1.3  0.3  2  1.69  0.61
2
Ответ: E(Y )  0.7 ; D(X)  0.61
2
Задача №4.
Случайный вектор (Х;Y) имеет плотность распределения:
12e4 x 3 y , åñëè 0  x  ;0  y  
f ( x; y)  
0, â î ñòàëüí û õ ñëó÷àÿõ
Найти вероятность P(X>2).
Решение:
Для начала найдем плотность распределения f X (x) компоненты Х:

0


При x  0  f X (x)   f ( x; y)dy   0dy  0

0



0
При x  0 f X (x)   f ( x; y)dy   0dy   12e4 x3 y dy  
12 4 x 3 y 
e
 4  e4 x   e4 x   4e4 x
0
3
Следовательно, плотность распределения f X (x) имеет вид:
x0
0,
f X (x)   4 x
4e , x  0
Тогда искомая вероятность:

P( X  2)   4e4 x dx  e4 x
2
Ответ: P( X  2)  0.0004

2
   e  e8   e8  0.0004
Задача №4.
Пусть S(n) обозначает цену акции к концу n-ой недели, n  1 . Известно, что
отношение цен
S ( n)
, n  1 , является независимыми случайными величинами,
S (n  1)
которые распределены логнормально с параметрами   0.00205 и   0.0544 .
Найдите вероятность того, что цена акции будет расти подряд две недели.
Решение:
 S ( n) 
По условию задачи случайная величина Х= ln 
 , n  2 распределена по
 S (n  1) 
нормальному закону распределения с параметрами   0.00205 и   0.0544 .т.е
X
 0.00205;0.0544  .Найдем вероятность того, что цена акции будет расти подряд две
2
недели, т.е цена акции в конце первой недели будет меньше цены акции в конце
второй недели: S (2)  S (1) . Следовательно:
  S (2) 

  S (2) 

 S (2) 
P  S (2)  S (1)   P 
 1  P  ln 
  ln1  P  ln 
  0 
 S (1)

  S (1) 

  S (1) 

 P( X  0) 
1
1
 0  0, 00205  1
0  1
Ô 
  Ô  0, 04    0, 016  0,516
  Ô 

2
2
   2
 0, 0544  2
Ответ: вероятность того, что цена акции будет расти подряд две недели равна
0,516.