Решение задачи Коши
операционным методом
Функция-оригинал
Операционное исчисление — один из наиболее
экономичных методов интегрирования линейных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. При решении операционным
методом задача интегрирования линейного
дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами сводится к задаче о решении
алгебраического уравнения.
Функцией-оригиналом называется функция f(x)
для которой справедливо:
f(x)
непрерывна
при
неотрицательных
x,
за
исключением, быть может конечного числа точек,
f(x)=0 при x<0,
существуют такие постоянные M и a, что |f(x)|≤Meax при
всех неотрицательных x.
Преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа функции
f(x) называется функция
Функция
F(p)
называется
изображением
функции
f(x),
а
функция f(x) - оригиналом для F(p).
Отыскание изображения и
оригинала
Найти
изображения
заданных
функций-оригиналов
f(x)=ax и f(x)=e-x.
Для
проверки
правильности
вычислений
выполним
обратное
преобразование.
Найдем
оригиналы
заданных
изображений
F(p)=a/p2 и F(p)=1/(p+1).
Изображения функций
Записать изображения элементарных
функций
1
Sin(at)
Cos(at)
Cos a(t-t0)
-at
e
e-atsin(bt)
-at
e cos(bt)
n
t f(t)
-at
te
t sin(at)
t cos(at)
n
t
f(t)/t
σ0(t-h)
(n)(t), f(0)=…
f
…=f(n-1)(0)=0
Основные свойства
преобразования Лапласа
Основные свойства преобразования Лапласа, используемые
при решении дифференциальных уравнений следующие:
оригинал восстанавливается по изображению единственным
образом, с точностью до значений в точках разрыва - теорема
единственности;
если F(p) и G(p) - изображения соответственно для f(x) и g(x),
то изображением для af(x)+bg(x) является aF(p) +bG(p) линейность преобразования Лапласа;
изображением для производной f(n)(x) является функция
pnF(p)-pn-1 f(0)-pn-2f'(0)-…-pf(n-2)(0)-f(n-1)(0) - изображение
производных;
если F(p) изображения для f(x), то для любого a>0
изображением для f(x-a) является e-apF(p) - теорема
запаздывания.
Алгоритм решения задачи
Коши
Рассмотрим задачу Коши: y(n)+a1y(n-1)+…+any=f(x);
y(0)=y0, y’(0)=y1, …, y(n-1)(0)=yn-1; a1, a2, …, an постоянные.
Алгоритм решения задачи Коши для уравнений
операционным методом состоит в следующем.
Обозначим Y(p) и F(p) изображения для y(x) и f(x).
Тогда по основным свойствам преобразования
Лапласа, переходя к изображениям, получим:
(pnY(p)-pn-1y0-…-yn-1)+a1(pn-1Y(p)-pn-2y0-…-yn-2)+…+anY(p)=F(p)
или, A(p)Y(p)+B(p) = F(p), где A(p) и B(p) - многочлены.
Отсюда
Y(p)=(F(p)-B(p))/A(p) и искомое решение
задачи Коши y(x) является оригиналом для Y(p).
Решение задачи Коши
Решение задачи Коши для линейного
дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами.
Решим
операционным
методом
задачу
Коши
x''+4x=cos 2t, x(0)=1, x'(0)=-1.
Проверим правильность решения.
Задание
Решить операционным методом
задачу Коши
1.
2.
3.
4.
5.
6.
x''+4x=2, x0=x'0=0
x''-x=1/(1+et), x(0)=x'(0)=0
x'+x=e-2t, x(0)=1
x''+x=1, x(0)=0, x'(0)=1
x''+2x'-3x=e-t, x(0)=0, x'(0)=1
x'''+2x'=t sin t, x(0)=0, x'(0)=0
