Арифметическая и геометрическая прогрессии: урок с примерами

Урок по теме:
" Арифметическая прогрессия. Геометрическая
прогрессия. Смешанная прогрессия "
Занятие № 1
Арифметическая прогрессия
Цель: Знать формулы и уметь их применять при решений задач.
Ход урока
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен
предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d , называется арифметической
последовательностью, где d - разность арифметической прогрессии.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… - арифметическая прогрессия.
а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7…,
a2  a1  2
a3  a2  2  a1  2  d , d – разность арифметической прогреccии,
----------------------------------
an  an1  d или an  a1  (n  1)  d ,
Sn 
a1  a n
a  a1  (n  1)  d
2  a1  (n  1)
 n , Sn  1
 n , Sn 
n.
2
2
2
Пример 1. Найти первый член a1 и разность d арифметической прогрессии в
a2  a5  a3  10,
a2  a9  17;
которой 
Решение: Имеем, где
a2  a1  d ,
a5  a1  4  d ,
a3  a1  2  d ,
a9  a1  8  d .
a1  d  a1  4d  a1  2d  10,

a1  d  a1  8d  17;
a1  3d  10,

2a1  9d  17;
2a1  6d  20
a1  3  10,
2a1  9d  17;
a1  13.
 3d  3;
d  1.
Ответ: a1  13, d  1.
Пример 2. Известно, что при любом n сумма S n членов некоторой арифметической
прогрессий выражается формулой S n  4n  3n . Найти первые три члена этой прогрессий.
2
Решение: Допустим,
S1  1,
a1  1,
S 2  4  4  3  2  10,
S 2  a1  a2 ,
S 3  4  9  9  27
S 3  a1  a2  a3 ,
10  1  a2 ,
a3  S 3  S 2  27  20  17.
a2  9
Ответ: 1; 9; 17;
Пример 3. Если в арифметической прогрессии сумма третьего и седьмого членов
равна 10, первый член равен -3, то разность прогрессии равна:
1)3, 2) 1, 3) 2, 4) -2, 5)
1
.
3
Решение:
a3  a7  10, a1  2d  a1  6d  10,
d ?

2a1  8d  10;
a1  3;
a1  4d  5,
 3  4d  5,
4d  8
d  2.
Ответ: №3
Пример 4. Если в арифметической прогрессии второй и шестой члены
соответственно равны 0,8 и 2,4, то десятый член равен:
1) 4, 2) 8,6, 3) 4,2, 4) 10,4, 5) 6.
Решение:
a 2  0.8,
a10  ?

a

2
.
4
;
 6
a2  a1  d ,

a6  a1  5d ;
2,4  a1  d ,

0,8  a1  5d ;
1,6  4d , 0.8  0.4  a1 ,
d  0.4 a1  0.4
a10  a1  9d  0.4  9  0.4  4
Ответ: №1
Пример 5. Сколько членов арифметической прогрессий нужно взять, чтобы их сумма
равнялось 91, если её третий член равен 9, а разность седьмого и второго членов равна 20?
a3  9,
Решение: S n  91, и 
a7  a2  20;
a1  6d  a1  d  20,
5d  20,
d  4.
a1  2d  9,
a1  9  8  1.
Зная формулу суммы, найдем кол-во членов прогрессии.
91 
a1  an
 n,
2
(a1  an )  n  91  2,
(a1  a1  (n  1)  d )  n  91  2,
4n 2  2n  182  0,
2n 2  n  91  0,
D  b 2  4ac  1  4  2  91  729
n
1  27
7.
4
Ответ: n  7 .
Занятие №2
Геометрическая прогрессия
Цели: Уметь решать задачи, знать формулы геометрической прогрессии.
Ход урока
Числовая последовательность, каждый член которой, начинается со второго, равен
предыдущему, умноженное на некоторое отличное от нуля постоянное число, называется
геометрической прогрессий.
bn1  bn  q,
bn  b1  q n1 ,
b (1  q n )
Sn  1
,
1 q
S
b1
 для бесконечно убывающей прогрессии.
1 q
Пример 1. Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 40,
а сумма второго и пятого равна 10. Найти знаменатель прогрессии.
b1  b4  40,
Решение: 
b2  b5  10;
b1  b1q 3  40,

b1q  b1q 4  10;
b1 (1  q 3 )  40, b1 (1  q 3 ) 40 1
 ,  4.

3
b1q(1  q 3 )  10; b1q(1  q ) 10 q
Ответ: 0,25.
Пример 2. Сумма второго и четвёртого членов возрастающей геометрической
прогрессии равна 30, а их произведение 144. Найти сумму девяти членов этой прогрессий.
Решение:
b2  b4  30,

b2  b4  144;
b1q  b1q 3  30,
b1q  (1  q 2 )  30,


b1q  b1q 3  144; 
(b1  q 2 ) 2  144;
b1q 2  12, b3  12,
b1q(1  q 2 ) 30

,
12
b1q 2
1  q2 5
 ,
q
2
5q  2  2 q 2 ,
2q 2  5q  2  0,
D  b 2  4ac  25  16  9,
q1 
D  3.
53 1
53
 , q2 
 2 , т.к. прогрессия возрастающая, то q  2 ;
4
2
4
b1 (1  q 9 ) 3  (1  29 )
S9 

 1533
1 q
1
Ответ: S9  1533 .
Пример 3. Четвертый член возрастающей геометрической прогрессии больше
второго члена на 24, а сумма второго и третьего членов равна 6. Найти произведение первых
четырех членов этой прогрессии.
Решение:
3
2
b4  b2  24, 
b1q  b1q  24, b1q (q  1)  24, q 2  1
 4,  q  5



2
1

q
b
q
(
1

q
)

6
;
b
q

b
q

6
;
b2  b3  6; 
1
1
1
если q  5 , то b1q(1  q)  6, b1  5  6  6, b1 
тогда b1  b2  b3  b4  5 
6
6 1
 ,
30 5
1
 52  25 .
4
5
Ответ: b1  b2  b3  b4  25 .
Пример 4. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
сумма которой равна 1,6, если второй член равен (-0,5).
Решение:
 b1
1  q  1.6, b1q  0.5, b1q  0.5,
(1  q)  q  b1  0.5
 b1


,

1
.
6
;
1
1  q
b   ;
b
1
.
6

1
 2
2
5
,
16
5
q  q2   ,
16
2
16 q  16 q  5  0,
(1  q)q 
8  12
1
 ;
8  64  80 8  12
16
4
q1;2 

;
8  12 5
16
16
q2 
 .
16
4
q1 
Ответ: q  
1
4
Пример 5. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а
сумма кубов её членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Решение:
 b1
1  q  4,

b 3  b 3  b 3  b 3  ...  192;
2
3
4
1
b1  4(1  q).
b13  b13  q 3  b13  q 6  b13  q 9  ...  192,
b13 (1  q 3  q 6  q 9  ...)  192,
1  q 3  q 6  q 9  ...  S ,
S
1
1

,
1  q 3 (1  q  q 2 )(1  q)
4 3 (1  q ) 3
 192 ,
(1  q )(1  q  q 2 )
64(1  q )(1  q )(1  q )
 192 ,
(1  q )(1  q  q 2 )
1  2q  q 2  3  3q  3q 2 ,
2q 2  5q  2  0,
D  25  16  9, D  3
q1 
53
53
 2, q 2 
 0 . 5
4
4
1
2
Т.к. прогрессия убывающая, то q  0.5 , тогда b1  4(1  q )  4(1  (  ))  6 .
Ответ: q  0.5, b1  6
Занятие №3
Смешанная прогрессия
Цель: Знать формулы и уметь их применять при решений задач.
Ход урока.
Характеристические свойства прогрессий:
an 
an1  an1
; bn2  bn1  bn1 , где n  2
2
Пример 1. Три числа a,b,12 в указанном порядке составляют возрастающую
геометрическую прогрессию, а числа a,b,9 составляют арифметическую прогрессию. Найти
a b.
Решение: a,b,12 - возрастающая геометрическая прогрессия,
a,b,9 – арифметическая прогрессия.
b 2  12 a,

То 
a9
;
b 

2
b
a9
,
2
2
a  9

  12 a
 2 
a 2  18a  81  48a,
a 2  30a  81  0,
a1  3, a2  27,
Т.к. a  12` ,то a  3, b 
39
 6 , тогда a  b  3  6  9 .
2
Ответ: 9.
Пример 2. Три числа дают в сумме 18 образуют арифметическую прогрессию. Если
к ним прибавить соответственно 1, 3 и 17, то они составляют возрастающую геометрическую
прогрессию. Найти исходное третье число.
Решение:

a  b  c  18,

2
(b  3)  (a  1)(c  17 ),

ac
b 
;

2
a  c  18  b,

 18  b
,
b 
2

(b  3) 2  (a  1)(c  17 );
2b  18  b,  b  6.
a  c  12, a  12  c,
81  (12  c  1)(c  17 ),
81  c 2  4c  130  91,
c 2  4c  140  0,
D  16  4  1  (140 )  576 , D  24
 4  24
c1; 2 
;
2
c1  14, c2  10
Ответ: c  10
Пример3. Пусть x1 , x2  корни уравнения 12 x  x 2  A , а x3, x4  корни уравнения
108 x  x 2  B . Найти A , если известно, что последовательность x1 , x2 , x3 , x4 
геометрическая прогрессия, все члены которой положительны.
Решение:
12 x  x 2  A,  x 2  12 x  A  0,


108x  x 2  B;  x 2  108x  B  0;
По теореме Виета найдем корни данных уравнений:
 x1  x2  12,  x3  x4  108,


 x1  x2  A;  x3  x4  B
Итак, x1 , x2 , x3 , x4  геометрическая прогрессия, то x1 , x1  q, x1  q , x1  q ;
2
 x1  x1  q  12,
x1  q 2  x1  q 3  108,
 x1  x1  q  A;
имеем: 
 x1 (1  q )  12,
 2
 x1q (1  q )  108;
x1q 2 (1  q ) 108 2 54

; q 
 9, q  3`
x1 (1  q )
12
6
Получим: x1  4  12, x1  3 .
A  x1  x1  q  9  3  27.
Ответ: A  27
3