Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Томский политехнический университет»
Кафедра ЭАФУ
РАСЧЕТ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО
ТОКА РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
Методические указания по выполнению лабораторной работы №3
по курсу «Электротехника и электроника
Томск – 2009
СОДЕРЖАНИЕ
1
Теоретическая часть. ........................................................................................ 3
1.1
Метод контурных токов. ........................................................................... 3
1.2
Метод узловых потенциалов. ................................................................... 6
1.3
Метод эквивалентного активного двухполюсника (эквивалентного
генератора). ........................................................................................................ 10
1.4
Метод наложения. ................................................................................... 14
2
Цель работы: Ознакомление с измерительной техникой и методами расчёта
цепей постоянного тока.
1 Теоретическая часть.
В электротехнике и промышленной электронике часто находят применение
сложные электрические цепи с несколькими активными и пассивными
элементами. Если такая цепь содержит много узлов и контуров, то расчет цепи
на основе первого и второго законов Кирхгофа будет связан с решением
большого количества уравнений. На практике для упрощения данной задачи
используются модифицированные методы: метод контурных токов, метод
узловых потенциалов, метод наложения, метод эквивалентного генератора и
метод пропорционального пересчёта.
1.1 Метод контурных токов.
Вводя понятие контурных токов, можно свести уравнения, составленные
по законам Кирхгофа к системе уравнений, составленных лишь для
независимых контуров, т.е. исключить уравнения, составляемые по первому
закону Кирхгофа. Благодаря этому удается снизить порядок системы
уравнений.
Под контурными токами понимают условные (расчетные) токи,
замыкающиеся
в
соответствующих
контурах.
Рассмотрим
схему,
представленную на рисунке 1, имеющую три независимых контура I, II, III.
Будем считать, что в каждом контуре имеется свой контурный ток I I , I II , I III .
Пусть направление этих токов будет одинаково — по часовой стрелке.
Сопоставляя контурные токи с токами ветвей, можно показать, что значения
контурных токов совпадают со значениями действительных токов только во
внешних ветвях:
I1 I I , I 5 I II ,
I III J .
(1)
Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних контуров:
3
I 4 I I I II ,
I 2 I I I III ,
I 3 I II I III .
R6
a
I2
J
III
R2
I1
I
E1
b
(2)
J
R3
I3
c
I4
R4
II
d
I5
R1
R5
E5
Рисунок 1
Таким образом, по известным контурным токам легко можно найти
действительные токи ветвей.
Для определения контурных токов цепи (рисунок 1) необходимо составить
уравнения для двух контуров (так как третий ток известен):
( R1 R2 R4 ) I I R4 I II E1 R2 J
;
R4 I I ( R4 R3 R5 ) I II E5 R3 J
(3)
или в общем случае
R11 I I R12 I II E I
,
R21 I I R22 I II E II
(4)
где R11 , R22 - контурные сопротивления, R12 , R21 - взаимные сопротивления, а
EI , EII - контурные ЭДС.
E I E1 R2 J E1 R13 I III
E II E5 R3 J E5 R23 I III
,
(5)
где R13 R2 , R23 R3 , I III J .
Решая эту систему уравнений, можно найти контурные токи, а по ним
искомые токи ветвей I1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 .
Уравнения для контурных токов можно записать в матричной форме:
4
R11
R
21
R12 I I E I
R22 I II E II
(6)
R I E .
(7)
или
Здесь R - квадратная матрица коэффициентов при неизвестных контурных
токах; I - матрица-столбец неизвестных контурных токов; E - матрицастолбец известных контурных ЭДС.
Диагональные элементы R11 , R22 матрицы R называемые контурными
сопротивлениями или собственными сопротивлениями контуров, равны
сумме сопротивлений всех элементов, входящих в контур. Остальные
элементы матрицы
R
равны сопротивлениям общих ветвей смежных
контуров и имеют знак минус, если контурные токи одинаково направлены,
например, по часовой стрелке. Если какие-либо контуры не имеют общих
ветвей, то соответствующие элементы матрицы равны нулю. Так, для цепи
рисунка 1
R11 ( R1 R4 );
R22 ( R4 R3 R5 );
R12 R21 R4 .
(8)
Решением уравнения (7) будет
I R 1 E ,
(9)
где R - матрица, обратная матрице коэффициентов R .
1
5
1.2 Метод узловых потенциалов.
Метод
расчёта
электрических
цепей,
в
которых
за
неизвестные
принимаются потенциалы узлов схемы, называется методом узловых
потенциалов (напряжений).
Ток в ветви в любой схеме можно найти по закону Ома, если известны
потенциалы узлов, к которым подключена данная ветвь. Рассмотрим участок
цепи (рисунок 2) содержащий последовательно соединённые источник ЭДС и
сопротивление.
E
a
R
I
b
UR
а)
E
a
I
R
b
UR
б)
Рисунок 2
Падение напряжения между узлами a и b для рисунка 2а, исходя из закона
Ома, можно записать следующим образом:
U ab a b U R E R I E .
(10)
Из выражения (10) получаем значение тока в ветви рисунка 2а:
I
U ab E
( a b ) E g ,
R
(11)
1
,
R
(12)
где
g
- проводимость.
В свою очередь, падение напряжения U ab в случае рисунка 2б:
6
U ab a b U R E R I E ,
(13)
U ab E
a b E g .
R
(14)
а ток I :
I
Рассмотрим схему, представленную на рисунке 3, имеющую четыре узла.
Исходя из (11) и (14) запишем выражения для токов схемы рисунка 3:
R6
1
I2
I1
E1
J
R2
2
J
R3
I3
3
I4
R4
R5
R1
4
I5
E5
Рисунок 3
I1 4 1 E1 g1
I 2 1 2 g 2
I 3 2 3 g3
,
(15)
I 4 2 4 g 4
I 5 4 3 E5 g5
где
7
g1
1
1
;
R1 RE1 R1
g2
1
;
R2
g3
1
;
R3
g5
1
1
;
R5 RE 5 R5
g6
1
0
R6
g4
1
;
R4
(16)
– проводимости соответствующих ветвей.
В схеме рисунка 3 принимаем, что 4 0 (искусственно заземляем
четвёртый узел).
Для определения токов необходимо составить систему уравнений,
неизвестными
которой
являются
потенциалы
узлов.
Данная
система
составляется следующим образом:
g1 g6 g 2 1 g 2 2 g6 3 E1 g1 J
,
g 2 1 g 2 g3 g 4 2 g3 3 0
g6 1 g3 2 g6 g3 g5 3 E5 g5 J
(17)
или в общем случае
g11 1 g12 2 g13 3 J 11
g 21 1 g 22 2 g 23 3 J 22 ,
g g g J
32
2
33
3
33
31 1
(18)
где
g11 g1 g6 g 2
g 22 g 2 g3 g 4
(19)
g33 g6 g3 g5
– узловые проводимости (суммы проводимостей ветвей сходящиеся в каждом
из узлов кроме заземления),
g12 g 21 g 2
g13 g 31 g 6
(20)
g 23 g 32 g 3
– взаимные проводимости (суммы проводимостей ветвей непосредственно
связывающие заданные узлы),
8
J 11 E1 g1 J
J 22 0
(21)
J 33 E5 g5 J
– узловые токи (суммы токов источников токов ветвей сходящихся в данных
узлах и суммы произведений ЭДС и соответствующих проводимостей
подключенных к данному узлу).
Систему уравнений (18) можно записать в матричной форме:
g11
g
21
g 31
g12
g 22
g 32
g13 1 J 11
g 23 2 J 22 .
g 33 3 J 33
(22)
или
G J ,
где
(23)
G - матрица проводимостей, - матрица столбец неизвестных
потенциалов и J - матрица столбец узловых токов.
Решением (23) будет
G 1 J .
(24)
Через найденные потенциалы узлов рассчитываются неизвестные токи.
9
1.3 Метод эквивалентного активного двухполюсника
(эквивалентного генератора).
Очень часто при анализе сложных электрических цепей интересуются
электрическим состоянием лишь одной ветви, причем параметры элементов этой
ветви могут изменяться. В этом случае нет необходимости производить расчет
всей
цепи
каким-либо
воспользоваться
из
методом
рассмотренных
методов,
эквивалентного
активного
а
целесообразнее
двухполюсника
(эквивалентного генератора). Этот метод основан на том, что всю остальную
часть цепи, кроме рассматриваемой ветви, независимо от количества активных и
пассивных элементов можно заменить одним эквивалентным активным
элементом (источником ЭДС или тока) и одним эквивалентным резистивным
элементом. Обоснованием данного метода является теорема об эквивалентном
активном двухполюснике, которую можно сформулировать таким образом:
любой многоэлементный активный двухполюсник может быть заменен
эквивалентным двухэлементным двухполюсником с параметрами Eэк и Rэк или
J эк и Gэк ; режим работы ветви, присоединенной к двухполюснику, при этом не
изменится.
Пусть сложная линейная электрическая цепь постоянного тока имеет
несколько активных и пассивных ветвей (рисунок 4а), в одной из которых,
например, в ветви с сопротивлением
R3 , необходимо определить ток,
напряжение и мощность при различных значениях сопротивления.
Заменяем схему (рисунок 4а) относительно сопротивления
R3
на
эквивалентную. В результате чего получаем эквивалентный двухполюсник
(рисунок 4б) или, в частном случае, эквивалентный генератор с источником
ЭДС Eэк U xbc и сопротивлением Rэк . Причём, U xbc - напряжение холостого
хода между зажимами b и c исходного активного двухполюсника (исходной
схемы)
10
R6
a
R2
J
b
E1
R3
I3
R4
b
c
R5
URн
Eэк
R1
Iн = I3
Rэк
Rн = R3
d
c
E5
а)
б)
Рисунок 4
Алгоритм
нахождения
тока
по
методу
эквивалентного
активного
двухполюсника можно представить следующим образом:
1. Определить напряжение U xbc на зажимах разомкнутой ветви.
Для этого из схемы на рисунке 4а удаляем сопротивление R3 и получаем новую
цепь (рисунок 5).
Для нахождения U xbc необходимо найти ток I 2 в схеме рисунка 5,
например методом двух узлов:
I2
a d
R2 R4
,
E1
J
R1
a
.
1
1
R1 R2 R4
(25)
(26)
Потенциал d приравниваем к нулю (заземляем узел d).
11
R6
a
I2
I1
E1
J
R2
J
b
c
I2
Uxbc
R4
R5
R1
d
J
E5
Рисунок 5
Падение напряжения U xbc определяем по второму закону Кирхгофа:
Eэк U xbc I 2 R4 J R5 E5 .
(27)
2. Заменить активный двухполюсник пассивным.
Для этого из схемы убираются все источники кроме их внутренних
сопротивлений, при этом необходимо помнить, что внутреннее сопротивление
идеального источника ЭДС равно нулю, идеального источника тока –
бесконечности. В результате чего получается пассивный двухполюсник
(рисунок 6) эквивалентное сопротивление, которого, необходимо определить:
Rэк R5
R4 R2 R1
.
R4 R2 R1
(28)
12
R2
Rэк
R4
R5
R1
Рисунок 6
3. Определяем ток I н (рисунок 4б) по закону Ома для полной цепи:
Iн
Eэк
,
Rэк Rн
(29)
где Rн R3 , I н I 3 .
13
1.4 Метод наложения.
Принцип наложения (суперпозиции) состоит в независимости действия
возбуждающих сил. Сложное явление подразделяется на более простые, в
которых каждая причина действует независимо от других, а результат
воздействия накладывается один на другой и складывается в суммарное
воздействие.
Метод наложения состоит в том, что ток в любой ветви схемы равен
алгебраической сумме токов, вызываемых каждой ЭДС в отдельности.
Рассмотрим данный метод на примере схемы представленной на рисунке 7.
R6
a
I2
I1
E1
J
R2
b
J
R3
I3
c
I4
R4
R5
R1
d
I5
E5
Рисунок 7
Алгоритм метода.
1.
Исходная схема (рисунок 7) разбивается на подсхемы, число которых
равно числу источников энергии (в данном случае 3), оставляя по одному
источнику в подсхеме. При этом, на месте удалённых ЭДС остаются закоротки,
а на месте источников тока – разрыв цепи.
Таким образом, исходная схема распадается на три подсхемы (рисунок 8).
14
R6
a
I2'’
I2'
J
R2
I1'
R3
I3'
b
R2
I1'’
J
c
b
E1
I4'’
I4'
R4
R4
R5
I5'
d
R5
R1
R1
I5'’
d
E5
E5
а)
б)
R6
a
I2'’’
I1'’’
R3
I3'’
J
R2
J
b
E1
I3'’’
R3
c
I4'’’
R4
R5
R1
d
I5'’’
Рисунок 8
Метод наложения
в)
2.
Определение токов в каждой из подсхем.
3.
Вычисление
действительных
токов
в
ветвях
алгебраическим
суммированием частичных токов:
I1 I1' I1'' I1''' ; ... ; I 5 I 5' I 5'' I 5''' .
(30)
15
